图说高数·增强版 · 第6章定积分的应用章地图

一、知识地形（本章 30 题怎么分布）

读法：条形长度＝该族在本章的题量。题量大的族不是"最重要"，而是"练得最多"；题量只有 1–2 题的族恰恰是最容易漏的地方。

二、6 个方法族 × 题号

方法族	本章题号	题量	主库高阶层级	主库题量	占本章比
应用通例	6-21、6-22、6-23、6-24、6-25、6-26、6-27、6-28、6-29、6-30	10	应用22、分析10、评价2、创造3	39	33%
平面图形面积	6-1、6-7、6-20	3	应用22、分析10、评价2、创造3	39	10%
旋转体体积	6-2、6-3、6-8、6-9、6-17	5	应用22、分析10、评价2、创造3	39	17%
弧长与旋转曲面面积	6-4、6-10、6-11、6-18	4	应用22、分析10、评价2、创造3	39	13%
物理应用	6-5、6-6、6-14、6-15、6-19	5	应用22、分析10、评价2、创造3	39	17%
平均值·中值定理·质心	6-12、6-13、6-16	3	应用22、分析10、评价2、创造3	39	10%
合计	—	30	—	39	100%

三、建议攻克顺序

① 平面图形面积 + 应用通例13 题
面积是"上减下"的最简形态，通例题把建模套路一次讲透。

② 旋转体体积5 题
垫片法与柱壳法各打一边：绕 x 轴用垫片、绕 y 轴用柱壳，选对少算一半。

③ 弧长与旋转曲面面积4 题
三种弧长公式（显式/参数/极坐标）+ 曲面面积，都是"根号里那一项"的变体。

④ 物理应用 + 统计量8 题
收口：做功、压力、功率三类建模，加上平均值/中值/质心三个统计量。

四、本章的四条硬提醒

最易错：垫片法 vs 柱壳法（5 题）

绕 x 轴旋转用垫片法 π∫(R²−r²)dx；绕 y 轴用柱壳法 2π∫x·h dx。选错不是算错，是根本做不出来。

最易混：弧长三种形式（4 题）

显式 y=f(x) 用 √(1+y′²)，参数式用 √(x′²+y′²)，别把 dx 和 dt 混着用。

最易错：液体静压力的深度（1 题）

压强 p=ρgy 里的 y 是从液面往下量的深度，不是坐标原点到该点的距离。

最易混：质心 ≠ 形心（1 题）

均匀薄片两者重合；密度不均匀时只能算质心。本章题目是均匀的，但概念别记反。

五、从章地图直接进题