🦞 定积AI · 图说高数

第1章 · 极限与连续：增强版强交互 · 全章 30 题

设计升级：强交互（参数拖动/动画/即时自测）· 沉浸式（逐步揭示/聚焦模式/进度环）· 学以致用（工程视角，取题库真实工程题）· 考研难度（难度标尺 + 考研真题角）。独立目录 ch1-plus，零侵染，不动已上线 ch1。
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1-1
求极限：lim⁡n→∞(1+1n)n\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n}
题库题号 1-1 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限概念 ｜ 增强版（动画）
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1-2
求极限：lim⁡x→0sin⁡3xx\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}
题库题号 1-2 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限计算 ｜ 增强版
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1-3
求极限：lim⁡x→∞(1+1x)x\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{x}
题库题号 1-3 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限概念 ｜ 增强版
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1-4
用 ε\varepsilon-NN 语言证明：lim⁡n→∞1n=0\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n=0
题库题号 1-4 ｜ 证明 ｜ Ch1 极限概念 ｜ 增强版（ε拖动）
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1-5
用 ε\varepsilon-δ\delta 语言证明：lim⁡x→1(2x−1)=1\lim\limits_{x\to 1}(2x-1)=1
题库题号 1-5 ｜ 证明 ｜ Ch1 极限概念 ｜ 增强版（ε拖动）
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1-6
判断 f(x)={x2,x<12x−1,x≥1f(x)=\begin{cases}x^{2},&x<1\\[2pt]2x-1,&x\geq 1\end{cases} 在 x=1x=1 处的连续性
题库题号 1-6 ｜ 计算 ｜ Ch1 函数的连续性 ｜ 增强版
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1-7
指出 f(x)=1xf(x)=\dfrac1x 的间断点类型
题库题号 1-7 ｜ 判断 ｜ Ch1 函数的连续性 ｜ 增强版
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1-8
当 x→0x\to 0 时，比较无穷小量 x, sin⁡x, x2, tan⁡xx,\ \sin x,\ x^{2},\ \tan x 的阶数
题库题号 1-8 ｜ 分析 ｜ Ch1 无穷小比较 ｜ 增强版（阶数拖动）
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1-9
求极限：lim⁡x→01−cos⁡xx2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}
题库题号 1-9 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限计算 ｜ 增强版
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1-10
求极限：lim⁡x→0ln⁡(1+x)x\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}
题库题号 1-10 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限计算 ｜ 增强版
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1-11
求极限：lim⁡x→0ex−1x\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}
题库题号 1-11 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限计算 ｜ 增强版
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1-12
求极限：lim⁡x→0(1+x)1/x−ex\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{1/x}-e}{x}
题库题号 1-12 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限计算 ｜ 增强版
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1-13
设 f(x)={sin⁡xx,x≠0a,x=0f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin x}{x},&x\neq 0\\[2pt]a,&x=0\end{cases}，求 aa 使 f(x)f(x) 在 x=0x=0 处连续。
题库题号 1-13 ｜ 综合 ｜ Ch1 函数的连续性 ｜ 增强版
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1-14
设 g(x)=x2−1x−1 (x≠1)g(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\ (x\neq 1)，且 g(1)=kg(1)=k，求 kk 使 gg 在 x=1x=1 处连续。
题库题号 1-14 ｜ 综合 ｜ Ch1 函数的连续性 ｜ 增强版
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1-15
当 x→0x\to 0 时，比较无穷小 ex−1−xe^{x}-1-x 与 x2x^{2} 的阶，并求 lim⁡x→0ex−1−xx2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}}。
题库题号 1-15 ｜ 分析 ｜ Ch1 无穷小比较 ｜ 增强版（阶数拖动）
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1-16
求数列极限：lim⁡n→∞(n2+n−n)\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-n\right)
题库题号 1-16 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限计算 ｜ 增强版（动画）
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1-17
求极限：lim⁡n→∞n[(1+1n)n−e]\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\left(1+\dfrac1n\right)^{n}-e\right]
题库题号 1-17 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限计算 ｜ 增强版（动画）
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1-18
证明：lim⁡x→0xsin⁡1x=0\lim\limits_{x\to 0}x\sin\dfrac1x=0
题库题号 1-18 ｜ 证明 ｜ Ch1 极限存在准则 ｜ 增强版
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1-19
求极限：lim⁡x→0(1+x)α−1x\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}（α\alpha 为常数）
题库题号 1-19 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限计算 ｜ 增强版
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1-20
判断极限是否存在：lim⁡x→0∣x∣x\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}；若不存在，说明原因。
题库题号 1-20 ｜ 判断 ｜ Ch1 极限概念 ｜ 增强版（左右拖动）
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1-21
函数 f(x)=4−x2ln⁡(x+1)f(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x+1)} 的定义域是
题库题号 1-21 ｜ 计算 ｜ Ch1 函数 ｜ 增强版
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1-22
设数列 {an}\{a_n\} 满足 an=2n+13n+2a_n = \frac{2n+1}{3n+2}，用 ε\varepsilon-NN 定义证明 lim⁡n→∞an=23\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{2}{3}。
题库题号 1-22 ｜ 证明 ｜ Ch1 极限概念 ｜ 增强版（ε拖动）
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1-23
下列极限计算中，结果正确的是：
题库题号 1-23 ｜ 判断 ｜ Ch1 极限计算 ｜ 增强版
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1-24
求极限 lim⁡x→0sin⁡3xtan⁡5x\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x}。
题库题号 1-24 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限计算 ｜ 增强版
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1-25
求函数f(x)=(x2−1)/(x2−3x+2)f(x)=(x^{2}-1)/(x^{2}-3x+2)的间断点并分类。
题库题号 1-25 ｜ 计算 ｜ Ch1 函数的连续性 ｜ 增强版
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1-26
证明方程 x3−3x+1=0x^3-3x+1=0 在 (0,1)(0,1) 内至少有一个根。
题库题号 1-26 ｜ 证明 ｜ Ch1 闭区间上连续函数的性质 ｜ 增强版
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1-27
求极限 lim⁡x→0x2sin⁡1x\lim\limits_{x \to 0}x^{2}\sin\frac{1}{x}。
题库题号 1-27 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限存在准则 ｜ 增强版
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1-28
设 f(x+1)=x2+3x+2f(x+1)=x^2+3x+2，求 f(x)f(x)
题库题号 1-28 ｜ 计算 ｜ Ch1 函数 ｜ 增强版
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1-29
求极限 lim⁡n→∞12+22+⋯+n2n3\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}
题库题号 1-29 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限计算 ｜ 增强版（动画）
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1-30
计算 lim⁡x→0tan⁡3x−sin⁡2xx\lim_{x\to0}\frac{\tan3x-\sin2x}{x}
题库题号 1-30 ｜ 计算 ｜ Ch1 极限计算 ｜ 增强版
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