MV-WARE-001L3 真实情境第8章 · 多元函数微分学周期 3 周团队 3-5 人

项目任务书（学生版）：多仓配送网络成本优化

项目编号：MV-WARE-001 ｜ 周期：3周 ｜ 团队：3-5人 ｜ 总分：100分（计入课程项目成绩40%）

一句话任务：某连锁企业3个仓库给门店配送商品。每个仓库"库存成本随货量加速上涨、运输成本随货量线性上涨"。总配送任务120万件，怎么分配能使总成本最低？——用条件极值武器（Lagrange乘数法）解决真实物流问题。

一、真实背景与模型

某连锁零售企业运营3个区域仓。物流团队测得各仓成本结构：

成本模型（已由工程师标定）：仓 i 承担 qᵢ 万件配送量时，成本为

（二次项：库存占用、场地、资金的加速成本；一次项：运输里程与油费。）

总任务约束：q_A + q_B + q_C = 120（万件），qᵢ ≥ 0。

总成本函数：C = 2x² + 1.6y² + 1.8z² + 21.25x + 18.75y + 18.5z（x=q_A, y=q_B, z=q_C）

二、任务链

任务A（基础 · 30分）：消元法求解

1. 用约束消去 z（z = 120−x−y），把问题化为二元函数 C(x,y) 的无条件极值问题；
2. 求偏导数、解驻点方程组，得到最优分配 (x\*, y\*, z\*) 与最低成本 C\*；
3. 验证 qᵢ ≥ 0 全部成立（若不成立说明什么？——提示：边界解，KKT思想，本项目无需展开）。

任务B（进阶 · 40分）：Lagrange乘数法

1. 构造拉格朗日函数 L = C(x,y,z) − λ(x+y+z−120)，写出一阶条件（三个偏导+一个约束，四方程）；
2. 解出 λ 与 (x\*, y\*, z\*)，与任务A结果对照验证（两法应完全一致——这本身就是检验）；
3. 回答本项目灵魂问题：λ = 162 左右，这个数的业务含义是什么？（提示：如果总部临时要求多配送1万件，总成本大约增加多少？λ 就是这个"每多配送1万件的最低成本增量"。物流术语叫"影子价格"）。

任务C（开放 · 30分）：仓B扩建决策

仓B提出扩建自动化立体库，方案参数变化：

• 库存成本系数：1.6 → 1.5（自动化降低库存占用）
• 单位运输成本：18.75 → 15.94（效率提升15%）

1. 用Lagrange法重新优化，报告新分配与新成本；
2. 计算每周期节省额，给出决策规则：当年摊销成本 F 满足什么条件时，扩建是值得的？（用不等式表达，F 的单位：元/周期）；
3. 观察并解释：扩建后 λ 变大了还是变小了？仓B的配送量份额如何变化？这说明"效率提升"在数学上如何影响整个网络的均衡？

三、里程碑与交付

交付清单：优化模型报告PDF（≤8页）｜ 求解代码（消元法+Lagrange两法）｜ 成本-分配量可视化图 ｜ 扩建决策备忘录（1页）｜ AI使用声明

四、诚实原则

任务B第3问的 λ 解释、任务C第3问的均衡分析，是区分"算对"与"懂透"的关键。只报数字无论证者，该问最高得一半分。