学域：变化与逼近
适用对象：高等数学（工科/理科）
课时建议：45 分钟
案例一：函数极限与严格定义 变化与逼近 · 基础课型
- 1. 学域基线诊断（5 min）：基于“极限簇”小测或问卷，获取学生对“极限=函数值”等直觉看法。
- 2. 个性化导学单生成：AI 依据诊断结果，为不同层次学生生成预习提示与必看节点。
- 3. 情境预热：在学域图谱中标出本节涉及节点，让学生课前浏览相关路径。
可在课堂开始前 1–2 天完成，结果直接反馈到学域评价与学习路径中。
📐 案例一 GGB 展示
函数极限 · 概念可视化 Skill
拖动或调整参数观察函数在一点处的极限、左右极限与函数值的关系，用于课堂「认知冲突」演示：先让学生猜极限值，再与 $f(x_0)$ 对比。
案例二：以采样定理为例的极限认知冲突教学 变化与逼近 × 真实问题建模
- 1. 工程情境导入（5 min）：播放音频 / 显示图像采样示意，提出“把连续信号变成一串离散点”的直观说法（如“点越多越接近原信号”）。
- 2. 直觉与误解收集（5 min）：让学生回答“如果采样点足够多，是否一定可以完全还原原信号？为什么？”，板书常见说法。
- 3. 采样反例与混叠现象（10 min）：给出采样频率不足时出现混叠的波形对比，暴露“点多即可还原”的直觉冲突。
- 4. 抽象成数学模型（10 min）：引入带限信号、采样周期 $T_s$ 与采样频率 $f_s = 1/T_s$，用符号表示离散样本 $\{x(nT_s)\}$。
- 5. 采样定理与极限思想（10 min）：
说明“在带限条件和 $f_s > 2f_{\max}$ 下，连续信号可由无限多样本经极限过程重建”并给出典型形式：
$$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT_s)\,\mathrm{sinc}\Big(\frac{t-nT_s}{T_s}\Big).$$
讨论该式中“无限求和→极限”的含义。
- 6. 回扣原始直觉（5 min）：
引导学生区分：
“采样点数增加” vs “满足带限 + 奈奎斯特条件 + 极限意义下的无穷求和”，澄清“点多≠必然可还原”。
本案例适合作为“极限在工程中的意义”专题课或在学完傅里叶分析、采样定理后回顾极限思想。
📐 案例二 GGB 展示
采样与傅里叶 · 概念可视化 Skill
傅里叶级数逼近：调节项数 $N$ 观察部分和 $S_N(t)$ 趋近于周期信号，体会「极限意义下的逼近」与采样定理中无穷和 $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}$ 的直观。