## 📘 常微分方程章教学设计：教学场景 + 节次安排 + 对应 Skills / Agents

**章节主题**：常微分方程建模与一阶方程求解（可分离 / 线性 / 伯努利）  
**适用学域**：变化与逼近、结构与累积、真实问题建模  

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## 一、整体教学场景设定

- **核心问题 1：如何从文字描述走到微分方程模型？**  
  - 场景：人口增长、放射性衰变、冷却定律、混合问题、电路等。  
  - 学生常见困难：  
    - 看得懂“故事”，写不出 y'(t)=…；  
    - 分不清“与当前状态成正比”“与环境温度差成正比”等微小差异。  
  - 对应 Skill：  
    - `常微分方程Skill`（建模）  

- **核心问题 2：看到一道 ODE，如何“先识别类型，再选方法”？**  
  - 场景：一阶方程分类（可分离 / 线性 / 伯努利）。  
  - 学生常见状态：  
    - 把所有题都当“求积分”，没有“类型意识”；  
    - 对积分因子法、伯努利变换“会套公式，不会判断何时用”。  
  - 对应 Skills：  
    - `常微分方程Skill`（`topic-first-order-odes`）  
    - `常微分方程求解Skill`（线性 / 伯努利 / 可分离的求解套路）  

- **核心问题 3：如何把“求解方法”整理成可复用的套路？**  
  - 场景：单元后期，学生需要一张“**一阶 ODE 求解思维导图**”和一套“题型识别练习”。  
  - 对应 Skills：  
    - `常微分方程求解Skill` 的综合练习与项目  
    - `数值分析Skill`（在后续章节中衔接数值解和稳定性）

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## 二、节次总览（建议 5–6 学时，可按需压缩/扩展）

| 节次 | 教学重心 | 关键节点 / 内容 | 重点 Skills | 主要 Agents |
|------|----------|----------------|-------------|------------|
| 第 1 讲 | 常微分方程建模与基本概念 | ODE 概念、解的意义、简单建模 | 常微分方程Skill | Cognitive Conflict Designer |
| 第 2 讲 | 一阶方程分类与识别 | 可分离 / 线性 / 伯努利 | 常微分方程Skill | Path Planning Agent |
| 第 3 讲 | 一阶线性方程求解（积分因子法） | 通解公式推导 + 典型例题 | 常微分方程求解Skill | Assessment & Assignment Agent |
| 第 4 讲 | 伯努利与可分离变量方程 | 类型识别 + 求解过程训练 | 常微分方程求解Skill | Assessment & Assignment Agent |
| 第 5 讲 | 综合建模与方法小结 | 综合练习 + 思维导图/小项目 | 两个 ODE Skills + 数值分析Skill（选用） | Learning Analytics & Reflection Agent |

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## 第 1 讲：常微分方程建模与基本概念

### 教学场景

- 目标：让学生从“故事语言”走到“y'(t)=… 型的 ODE”，意识到微分方程是描述“变化率与状态关系”的工具。  
- 典型情境：人口增长、冷却定律、药物浓度、电路充电放电等。

### 对应节点与 Skills

- 图谱节点（示例）：`node-ode-basic`、相关建模节点。  
- Skills：`常微分方程Skill`  
  - 主题：`topic-ode-modeling`、`topic-first-order-odes`（建模视角）。  
  - 练习：  
    - `exercise-ode-basic-001`：人口增长 y'=ky 建模 + 通解。  
    - `exercise-ode-basic-002`：牛顿冷却定律 y'=-k(y-T₀) 建模 + 长期行为。  
    - `exercise-ode-basic-003`：逻辑斯蒂模型 y'=ky(M-y) → 通解 + M 的意义。

### 项目与 Agents 使用

- 项目：`project-ode-basic-01`（从生活场景到一阶微分方程模型）。  
- Agents：  
  - **Cognitive Conflict Designer**：生成“线性增长 vs 指数增长”“不考虑环境温度 vs 考虑环境温度”的对比情境。  
  - **Resource & Visualization Orchestrator**（如需）：用图像展示解随时间变化的差异。

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## 第 2 讲：一阶方程分类与识别

### 教学场景

- 目标：让学生养成“**先看类型，再选方法**”的习惯，而不是“看到微分方程就硬算”。  
- 内容聚焦：可分离变量、线性、伯努利（也可提及齐次方程）。

### 对应 Skills

- `常微分方程Skill`  
  - 主题：`topic-first-order-odes`：给出各类一阶方程的标准形式、识别特征与代表例子。  
  - 课堂活动：  
    - 从教材/题库中抽若干 ODE，仅做“类型判断”，暂不解题。  
    - 可以引用 `exercise-ode-basic-001/002/003`、`exercise-ode-solve-001/002` 的题干做判断训练。

### Agents 使用

- **Path Planning Agent**：  
  - 为基础较弱学生设计“从可分离 → 线性 → 伯努利”的渐进路径；  
  - 为基础较好学生加入“齐次方程”或“简单二阶 ODE”作为挑战。

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## 第 3 讲：一阶线性方程求解（积分因子法）

### 教学场景

- 目标：系统讲清“一阶线性方程通解公式从哪来”，并通过 2–3 道典型例题让学生形成稳固套路。  
- 强调：不要只背公式，要经历一次推导。

### 对应 Skills 与题目

- `常微分方程求解Skill`  
  - 主题：`topic-linear-ode`。  
  - 练习：  
    - `exercise-ode-solve-001`：y'+y=x，完整积分因子推导（板书主例）。  
    - `exercise-ode-solve-004`：y' + (2/x)y = x²，含初值条件的特解。  
  - 推导类练习（可以选自 `常微分方程Skill` 中的 `exercise-ode-basic-004`）：  
    - 题干：从一般形式 y'+p(x)y=q(x) 推出积分因子与通解公式。

### Agents 使用

- **Assessment & Assignment Agent**：  
  - 根据以上题目生成一份“积分因子法小测”（2–3 题），含答案与关键步骤；  
  - 为不同班级生成难度稍有差异的版本（如增加/删除一步提示）。

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## 第 4 讲：伯努利与可分离变量方程

### 教学场景

- 目标：在一节课内“串联”三个套路：  
  - 可分离变量 → 积分后直接解；  
  - 一阶线性 → 积分因子法；  
  - 伯努利 → 代换后转化为线性，再用积分因子。

### 对应 Skills 与题目

- `常微分方程求解Skill`  
  - 练习：  
    - `exercise-ode-solve-002`：伯努利方程 y'+y=y²。  
    - `exercise-ode-solve-003`：可分离变量 dy/dx = x/y，含初值 (1,2)。  
    - `exercise-ode-solve-004`：线性方程带初值（可回顾第 3 讲方法）。  
- 板书建议：用一张表格“**题目 → 类型 → 方法 → 关键步骤**”串三个例题。

### Agents 使用

- **Assessment & Assignment Agent**：  
  - 以这三个例题为模板，生成作业题：改变系数/初值，让学生练习“先识别，再求解”。  
- **Learning Analytics & Reflection Agent**：  
  - 统计：学生在哪一类题型（可分离/线性/伯努利）错得最多，为第 5 讲安排有针对性的复习与项目。

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## 第 5 讲：综合建模与方法小结（含项目）

### 教学场景

- 目标：完成一次“从场景 → 模型 → 求解 → 结果解释”的闭环，并用图表/思维导图固化方法结构。

### 对应 Skills 与项目

- Skills：`常微分方程Skill` + `常微分方程求解Skill`  
  - 项目：  
    - `project-ode-basic-02`：一阶 ODE 建模小报（两个不同场景）。  
    - `project-ode-solve-01`：求解方法小总结（思维导图）。  
    - `project-ode-solve-02`：一阶 ODE 题型识别与求解练习（5 题综合）。

### Agents 使用

- **Learning Analytics & Reflection Agent**：  
  - 汇总：项目完成情况、不同类型 ODE 的正确率、学生自评难度；  
  - 输出一份“常微分方程章学习诊断报告”：  
    - 哪类建模场景最难？  
    - 哪种解法最容易混淆？  
    - 后续在数值分析/建模课程中如何继续强化。

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## 三、与图谱和学域模式的整合点

- 在 `index.html` 中，通过学域筛选突出：  
  - “变化与逼近”：时间演化视角（种群、温度等）；  
  - “真实问题建模”：从实际问题到 ODE 的建模节点。  
- 学生可在学习 ODE 章时：  
  - 先在图上沿着“建模节点 → 解法节点”的路径浏览；  
  - 再在每个节点详情中点击带“**含深度内容**”标记的 Skill 的「去运用」，完成对应练习与项目。

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本设计文档可与 `SERIES-CHAPTER-DESIGN.md`（级数章）配套使用，在教创赛/说课中展示“同一套学域 + Skills + Agents 框架如何平行服务不同章节（级数章与 ODE 章）”。